傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间有什么关系？为什么要进行这些转变？

什么是数学变换？

要理解这些变换，你必须首先了解什么是数学变换！如果你不理解数学变换的概念，那么我认为你也不会理解其他概念。

数学变换是指数学函数从原始向量空间变换到它自己的函数空间，或者映射到另一个函数空间，或者集合X到自身的可逆变换（例如，线性变换）或从中。 X 是另一组函数 Y 。例如（图片来源维基百科）：

旋转（Rotation）

镜像变换（Reflection）

平移（Translation）

数学中还有很多其他的数学变换，可以考虑基本的。使用变换因子对函数 f(x) 进行数学映射。变换的结果是函数的自变量仍然可以成为原来的几何向量空间或其他几何向量空间。例如，傅里叶变换是通过将时域变换到频域而得到的。

傅里叶变换和拉普拉斯变换的本质都是函数的积分变换，那么什么是积分变换呢？

什么是积分变换？

积分变换通过在给定区间内对原函数对映射函数空间的自变量进行积分运算，将函数从原函数空间映射到另一个函数空间。这样，与在原始函数空间中相比，在映射函数空间中可以更容易地表征或分析原始函数的一些性质。借助逆变换，通常可以将变换后的函数映射回原始函数空间。这种变换称为可逆变换。

假设对于函数f(t)，其函数t为自变量，积分变换一般具有类似的范式如下：

函数f(t)是变换的输入，(Tf) (u) 是变换后的输出，因此积分变换通常也称为定义数学运算符。函数 K(t,u) 称为积分核函数。

这里有一个对称核函数的概念。这是什么意思？这意味着我们交换函数 K 的两个自变量的位置并仍然使它们相等：

一些变换是可逆的。这是什么概念呢？通过逆变换变换后也可以恢复！

看看正变换和逆变换，你会发现：

• 核函数正好有两个自变量交换位置 逆变换 将变换后的函数在 u 维度上积分

什么是傅里叶级数？

在讲傅里叶变换之前，先讲一下傅里叶级数，会更容易理解傅里叶变换。在数学中，傅里叶级数是将波状函数表示为简单正弦波的一种方法。更正式地说，它根据数学定义将任何周期函数或周期信号分解为简单振荡函数（可能具有无限频率分量）的集合，即正弦和余弦函数（或相应的复杂指数）：

假设 f (t)是周期信号，周期为T。如果f(t)的能量限制在一个周期内，则：

则f(t)可以展开为傅里叶级数。如何展示呢？计算如下：

傅里叶级数的系数计算公式如下： 对于

f(t)，也可以使用以下公式将其写为正弦函数和余弦函数之和：欧拉公式，这里就不写了。欧拉公式如下： 式中

k表示第k次谐波。这是什么概念？这并不容易理解。如果你看一下方波 的前4个谐波的动画就更容易理解了。这里的合成概念是指时域叠加的概念。图片来源维基百科

上图中，你可以直观地看到周期性方波可以被认为是几个谐波的线性叠加。其振幅谱具有离散谱线，且振幅值呈递减趋势。从这一点可以看出，高次谐波分量所占的比例越来越小。频谱线位置：

• 第一行：
• 第二行：
• 第n行：

频谱线间隔：应用：想一下时钟信号对电子系统、硬件友好或经验丰富的人可能会发现产品的电路板在 EMC 辐射测试期间在某些频率下超出标准。有经验的听众可以很快找到广播源。其实这里的高概率就是周期时钟造成的。从频率上来说，可以理解为其基频的几个谐波的线性叠加。如果某一谐波分量满足辐射条件，当电路线的尺寸满足辐射条件时，它就会从电路板中释放出来，成为电磁波能量传播到空间中。因此，如果我们回顾一下该频率可能对应的周期时钟的基频，我们就可以快速确定辐射源并解决问题。

说到傅里叶级数，周期信号可以用傅里叶级数展开，那么任何周期信号都可以用傅里叶级数展开？答案是否定的，必须满足著名的狄利克雷条件：

• 在一个周期内，如果存在不连续点，则一个周期内不连续点的数量将持续有限次 。 ，最大值和最小值的数量是有限的
• 在一个周期内，信号或函数可以完全积分。请参阅前面的公式。

什么是傅立叶变换？

前面我们讲了傅里叶级数，接下来我们将讨论傅里叶变换。傅里叶变换之所以称为傅里叶变换，是因为1822年法国数学家J. Fourier在研究热传导理论时首先证明了将周期函数展开为傅里叶级数的理论，随后进一步发展成为一种有效的科学研究和分析工具。

假设周期信号的周期T逐渐变大，则谱线之间的间隔逐渐变小。如果外推周期T无限增加并变得无穷大，则该信号或函数变为非周期信号或函数。在这种情况下，时间谱线变得连续而不是离散谱线！那么傅里叶变换就有这样一个通用的数学定义：

对于连续时间信号f(t)，如果f(t)在时间维度上积分，（其实不一定是时间t的维度，这里任意可以使用维数，只要能积分到适当的维空间中即可），即：

那么 x(t) 存在一个傅立叶变换，其计算公式为：

逆变换：

上一篇文章 据说傅里叶变换本质上是连续函数的积分变换。从上面的公式我们可以看出，傅里叶变换的核函数为：

，核函数的两个自变量为：t，。 一般将频率场称为角速度（很容易理解为旋转速度）。

上面两个公式是什么意思？如果它的能量在度量空间内有限，即其自变量的积分（相当于求面积）为某个值，则可以认为它在度量空间上可积，那么这样的函数或信号可以进行傅里叶展开。变换，所得扩展 成为频率范围的函数。如果将函数的值绘制为频率的函数，则称为频谱图，其逆变换更容易理解。如果我们知道一个信号或函数频谱的密度函数，就可以据此还原其时域函数并绘制时域波形图。

傅里叶变换公式从理解的角度可以认为是无穷小能量的总和，傅里叶级数也是各个谐波分量的总和。不同之处在于前者对于频率变量是连续的。后者与频率相比是离散的！

当然，本文将讨论限制在时域信号，因为我们的电子系统中最常见的应用是时域信号。通过扩展，可以使用上述定义来提升其他多维信号。它们在多维空间信号中也非常有价值，例如2维图像处理、3维图像重建等。

傅里叶级数和变换有什么区别？

• 傅里叶级数是周期信号，而傅里叶变换是时间上连续可积的信号（不一定是周期信号）
• 傅里叶级数要求信号在一个周期内能量有限，而后者要求，因此在整个区间
• 内能量是有限的。 对应的傅里叶级数是离散的，而对应的傅里叶变换是连续的。

因此两者的物理意义不同，大小也不同。 是周期信号的k次谐波的幅度，而是谱密度的概念。所以答案是，两者本质上并不是同一个概念。傅立叶级数是周期信号或正交级数的另一种时域表达，它是不同频率波形的时域叠加。傅里叶变换是完整的频域分析。傅立叶级数适用于周期性现象的数学分析。傅里叶变换可以看成是傅里叶级数的极限形式，也是周期现象的数学分析，也适用于非周期现象的分析。

什么是拉普拉斯变换？

1814年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在概率研究中为拉普拉斯奠定了可靠的数学基础，从而发展了拉普拉斯变换理论。为了概念上的理解，这里仅描述单侧拉普拉斯变换。对于函数f(t)，我们知道它的傅里叶变换为：

那么如果函数的傅里叶变换为：

将上面的公式整理一下：

设，然后 就是上面的变换

从上一篇文章我们知道，拉普拉斯本质上是一个积分变换，所以上式中就是积分变换函数的核，那么它​​的变换核函数如下：

上面提出的因子，对于函数来说，函数会更容易收敛，更容易满足傅里叶变换绝对可积的限制条件。拉普拉斯变换存在的条件如下：

傅里叶拉普拉斯变换关系差异

所以傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的关系可以比较容易地联系起来。

• 拉普拉斯变换将原函数从时间维度（不一定是时间维度，只是为了更容易理解本文是用常见的时间维度表示法写的）映射到复平面上。变换的情况，即当变换核函数时，拉普拉斯变换变成傅里叶变换。这相当于只取虚部和实部为0。
• 傅里叶变换从原始维度变换到频率维度。从信号处理的角度来看，这相当于将时域信号转换到频域进行分析，为有效的信号处理提供了数学理论基础和工具。
• 拉普拉斯变换将原始维度变换为复频域。在电子电路分析与控制理论中，它为系统的数学描述的编写提供了强有力的数学理论基础。学过控制论的人都会高兴一整天。处理传递函数的本质是用拉普拉斯变换对系统进行数学建模。它为分析系统稳定性和可控性提供了数学工具。

什么是Z变换？

Z 变换本质上是拉普拉斯变换的离散形式。也称为 Fisher-Z 变换。利用连续信号的采样变换，得到原函数的离散序列：

其中T是采样周期，信号和系统称为脉冲采样。事实上，用人类的话来说，理想的是将连续信号转换成等间隔的离散序列模式。看看下面的图你就明白了。 AD转换器通常在电子系统中用于实现。

使用上式进行拉普拉斯变换：

该公式利用了脉冲函数的采样特性，可以简化为：

引入，然后引入上面新的自变量。公式为：

这是 Z 变换。从上面的过程描述中，我们可以了解到Z变换和拉普拉斯变换之间的关系。因此，两者之间的关系是，Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。

那么Z变换的意义是什么？在数字信号处理和数字控制系统中，Z 变换提供了数学基础。利用Z变换，可以快速将传递函数写成微分方程形式，为实现编程提供数学基础。例如，如果您知道数字滤波器的 Z 变换形式，则可以在几分钟内编写代码。算法的Z变换的控制也是已知的，并且编码也是不言自明的。

这里说的是Z变换的离散形式，所以这里也提一下，傅里叶变换是数字的，即离散形式就是离散傅里叶变换DFT（Discrete Fourier Transform），而井- 已知的快速傅里叶变换 FFT（快速傅里叶变换）是 DFT 的一种极其高效的实现。

综上

要了解三种变换之间的关系和区别，首先要了解什么是数学变换，什么是积分变换。傅里叶变换和拉普拉斯变换本质上是函数的积分变换，其中傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，而Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。每一种变换都有其自身的应用价值。傅里叶变换为信号处理的频域分析提供了强大的数学工具，而拉普拉斯变换则为电子、控制工程、航空等领域提供了建模和分析工具。数学分析工具； Z变换实现这些变换为数字实现提供数学理论基础。 DFT 是 FFT 的离散形式，而 FFT 是 DFT 的算法优化实现。